Circuitos RLC: Ecuaciones Diferenciales de 2do Orden.

    En análisis de circuitos I, se estudió los circuitos RL y RC, los cuales implican la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, donde se estudio la respuesta escalón y la respuesta natural dependiendo de si el circuito abre y cierra. Ahora en circuitos II se analizará el comportamiento de circuitos RLC los cuales se comportan como una ecuación diferencial de 2do Orden y tienen la propiedad de ser sistemas lineales.

    En esta entrada se realizará la deducción de los circuitos RLC y en la  siguiente entrada se solucionaran ejercicios de circuitos RLC.

    Forma General de una Ecuación de 2do Orden

    Como podemos ver la ecuación característica de un circuito RLC, es una ecuación lineal de 2do Orden donde a1 y a1 son constantes. Al ser lineal el sistema puede tener una respuesta general "Xc(t)" y una respuesta forzada "Xp(t)", por ello la ecuación general tiene su forma homogénea. La respuesta general por ende sera la solución a la ecuación homogénea. Por ser lineal, se puede aplicar el principio de la superposición previamente visto, significa que la suma de todas las respuestas del sistema será la solución del sistema.

    Por el principio de superposición aparece la ecuación homogénea mostrada en la imagen previa. Recordando lo visto previamente, los capacitores y las bobinas tienen la capacidad de amortiguar el voltaje y la corriente respectivamente, dado que ahora se da a conocer el Coeficiente de Amortiguamiento. Además, debido a la modificación de la onda de corriente y voltaje por los efectos inductivos y capacitivos, se agrega a la ecuación, la frecuencia natural del sistema. Por último, utilizando los principios de la transformada de Laplace se transforma las diferenciales en "s" y las respuestas de 1er Orden serían k*e^(st).

     Luego se buscan las raíces de la ecuación cuadrática para luego sustituirlas e la solución general del sistema homogéneo, donde las constantes k1 y k2 se evalúan en condiciones iniciales.

    Debido a la constante de amortiguamiento existen tres casos posibles: E>1 Sobreamortiguado, E<1 Subamortiguado y E=1 Críticamente Amortiguado. En la anterior y las siguientes imágenes se expondrá cada caso.