Circuitos RLC: Ejercicios

    En esta entrada analizaremos los 3 casos que se pueden presentar en el estudio de circuitos RLC, que son los circuitos sobreamortiguados, subamortiguados y críticamente amortiguados. También el análisis de un circuito RLC, el cual cambia su voltaje de entrada o fuente de voltaje aumentando o disminuyendo la misma.

    Caso #1: Subamortiguado (Cuando "s" es un número complejo)

    En este ejercicio están expresados como datos el valor de cada elemento pasivo y el voltaje del capacitor y corriente del circuito en condiciones iniciales (t=0). Lo primero que se realiza es un estudio de mallas o LVK (Ley de Voltajes de Kirchhoff). La ecuación resultante del LVK es dependiente de la corriente que fluye por el circuito, eso significa que el elemento pasivo que almacenará dicho parámetro es la bobina "L" por lo que ahí se encontrará la razón de cambio; es decir, la derivada del sistema, se expresa como orden 0 y al ser el efecto del capacitor contrario al de la bobina, su expresión matemática será expresada como una integral.

    Dado que se busca una ecuación diferencia de 2do Orden, se procede a derivar nuevamente toda la expresión, para luego despejar los coeficientes de la derivada de orden mayor. Por último se le aplica la transformada de Laplace al sistema, tal que nos de el valor de la ecuación característica del sistema.

    Al encontrar la ecuación característica del sistema, se calculan las raíces del sistema; bien sea con el método de la resolvente o directamente desde su calculadora científica. Como este sistema es subamortiguado la ecuación de la solución general es la siguiente:

X(t)=K1*e^(r*t)*cos(wd*t) + K2*e^(r*t)*sen(wd*t)

    Siendo:

S1= r+jwd    ;      S2=r-jwd

    Luego de haber realizado todo esto aun falta calcular las constantes K1 y K2 y eso se logra evaluando el sistema en sus condiciones iniciales (t=0). Pero antes de ello se deriva la ecuación de la solución general obtenida, ya que esta también debe ser evaluada en sus condiciones iniciales.

    En este momento se procede a evaluar el sistema en t=0, dado que es necesario recordar las siguientes reglas matemáticas: 1. Cualquier número elevado a 0 es igual a 1, 2. El coseno de 0 es igual a 1 y 3. El seno de 0 es igual a 0. Conociendo esto, se procede a sustituir valores en la expresión "i(t)" y "di(t)/dt".

    Llegando a este punto podemos observar que en una función subamortiguada K1 será el voltaje o corriente (depende de que se este evaluando) en condiciones iniciales.

    El último paso es demostrar la ecuación de la solución general del voltaje del capacitor.

 Caso #2: Sobrebamortiguado (Cuando "s" son números reales distintos)

    En este caso se realiza un estudio nodal, por lo que ahora se evaluara la razón de cambio del voltaje a través del tiempo. Siendo eso así, la diferencial de primer orden será el voltaje del capacitor, el voltaje de la resistencia será de orden 0 y se evalúa la integral del voltaje a través del tiempo. Luego toda la expresión se deriva como en el ejemplo anterior y es el mismo procedimiento hasta hallar las raíces de la ecuación característica "s"; donde se muestra que el sistema esta sobreamortiguado, por lo tanto su expresión es la siguiente:

X(t)=K1*e^(s*t) + K2*e^(s*t)

    Esa ecuación de la solución general se deriva para luego evaluar ambas ecuaciones resultantes en función de las condiciones iniciales. Al calcular el valor de la "dV(t)/dt" se iguala en su forma de solución general, tal que queda un sistema de ecuaciones 2x2 facil de resolver donde se busca K1 y K2, con las Constantes de la ecuación de la solución general y su derivada. Luego de eso solo queda buscar la corriente que pasa por la bobina "iL"

 Caso #3: Críticamente Amortiguado (Cuando "s" son iguales)

    En el siguiente caso primero se empieza realizando un LCK, diciendo que el arreglo en paralelo es igual al Voltaje del Capacitor, después  de tener esa expresión se realiza un LVK en el paralelo sabiendo que la corriente almacenada por el inductor se dividirá de tal manera que "i(t)=ic(t)+ir(t)". Como el LCK esta en función de la corriente pero tiene un voltaje en la función se procede a sustituir la expresión de la corriente en el LVK por la del LCK para que la función expresada conste solamente de la razón de cambio del voltaje a través del tiempo en sus distintos ordenes.

    Luego de todo el proceso algebraico, se utiliza la transformada de Laplace para hallar la función característica del sistema y a su vez hallar las raíces; que en este caso son iguales. Por lo que se puede decir que el sistema esta críticamente amortiguado. Entonces la función de la solución general es la siguiente:

X(t)=(K1+K2)*e^(s*t)   ; Dado que K3=K1+K2 entonces,   X(t)=K3*e^(s*t)

    Todo se evalua en sus condiciones iniciales (t=0), tanto la función general como su derivada, para luego calcular la función de la corriente del sistema en cualquier momento del tiempo.

    RLC en Circuitos Conmutados:

    Cuando se abarca este problema, se empieza buscando la solución general del sistema, por lo que se aplica LVK y LCK como en el problema anterior. Se realiza todas las operaciones hasta conocer la ecuación característica, con ella se conocen las raíces del sistema y se denomina al sistema como "Sistema Sobreamortiguado" dado que ya se sabe que la ecuación de la solución general será la siguiente:

V(t)=K1*e^(s*t) + K2*e^(s*t)

    Aquí empieza la diferencia, como es un circuito conmutado, significa que el capacitor y el inductor estaban previamente cargado en un "t<0", tal que es necesario evaluar el circuito en el intervalo posterior al cambio de fuente. Eso es lo que se muestra como el circuito con un intervalo "infinito" y la K3 es la respuesta especifica de este sistema. Por lo tanto la ecuación de la solución sería:

V(t)=K1*e^(s*t) + K2*e^(s*t) + K3

    Luego de ello, para encontrar el valor de las constantes K1 y K2, se debe evaluar el sistema previo al cambio, para conocer el valor de Vc(t) y de I(t) cuando t=0. Al tener ambos valores se vuelve a evaluar el circuito en condiciones iniciales y se deriva "V(t)" para generar un sistema de ecuaciones para encontrar las constantes K1 y K2. Cuando se encuentran dichas constantes, solo queda buscar la ecuación solución de la corriente para cualquier momento.